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CAPITULO 2: NUMEROS

Dimensiones, Mandelbrot, Caos, 4 Atractores, Música y Color.

Por el profesor Arnold Keyserling & Ralph Losey

"Los fractales de Mandelbrot representan en dos dimensiones el infinito existente entre el cero y el uno, lo potencial y lo actual... Esta fórmula proporciona un mapa matemático que permite navegar en la ruptura existente entre los mundos, que permite lidiar con el Caos y hacer realidad nuestro potencial existente."

El eneagrama y la rueda constituyen el puente entre la conciencia absoluta y la conciencia parcial, entre los sentidos y el significado. Constituyen la Cábala original. Se puede obtener cualquier tipo de significado a partir de las nueve partes del lenguaje y de los doce componentes de la mente. La estructura del mundo interno de la mente y del lenguaje es un reflejo del mundo externo de la material y de la vibración. El mundo externo, incluyendo la música y el color, sigue las mismas leyes de números que gobiernan el mundo interno. Las leyes de los números son un puente que une los mundos interno y externo. Entendiendo los números nos entendemos a nosotros mismos. Ganamos una gran sabiduría que permite que nuestro mundo tome sentido.

LOS NUMEROS

Pitágoras descubrió hace mucho tiempo que los números conllevan a la estructura y que la estructura de la mente también es la estructura del mundo. En esencia, todo es números. Si uno realmente entiende los números, se tiene la llave de toda sabiduría. Los números se componen de nueve numerales básicos para toda información, mismos que unen la geometría y la aritmética, el espacio y el tiempo. Esto pareciera difícil, pero es tan sencillo como numerar del 0 al 9. Se vuelve complicado cuando consideramos las relaciones recíprocas existentes entre éstos nueve numerales. Pero éstas relaciones se clarifican en la gráfica siguiente, que muestra el círculo de las cinco dimensiones, basado en la relación existente entre el infinito y el número uno. El círculo de las dimensiones es un resumen de las leyes básicas del Los números y de las matemáticas. Los ocho puntos que se muestran en el círculo de dimensión (del 0 al 7) corresponden a las ocho direcciones de la parte exterior de la rueda, que discutiremos en el Capítulo 8.

CIRCULO DE DIMENSIONES

Las cinco dimensiones

Incluyendo la dimensión CERO, existen cinco dimensiones (0-4). El cero, al igual que la segunda y tercera dimensiones, han sido aceptados como una realidad desde hace mucho tiempo. Sin embargo, la realidad de la cuarta dimensión había sido cuestionada. Pero a partir de Albert Einstein, la cuarta dimensión se convirtió en una realidad aceptada. La primera, segunda y tercera dimensiones se consideran imaginarias. Nosotros vivimos únicamente en la cuarta dimensión, pero para entender nuestra dimensión, nuestra realidad, necesitamos entender cada una de las otras dimensiones imaginarias. Incluso, debemos también darnos cuenta de cómo el infinito inunda cada una de las dimensiones, incluyendo la cuarta. Así que comenzaremos nuestra exploración de los números como herramienta de sabiduría, entendiendo las dimensiones y su relación con el infinito.

La dimensión cero es el punto. Aquel receptáculo de espacio infinitamente pequeño.
.

La primera dimensión es la línea, que consiste en un número infinito de puntos.________________

La segunda dimensión es un plano, como el cuadrado, que contiene un número infinito de líneas rectas.

La tercera dimensión es el sólido, como un cubo, que contiene un número infinito de planos (de cuadrados en este caso)

La cuarta dimensión, continuum espacio-temporal, es la realidad. En la cuarta dimensión, el número infinito de sólidos en el universo se encuentra en una relación entre si a través del tiempo y de la energía. Esta cuarta dimensión se representa geométricamente mediante los fractales y mediante el hiper-cubo. El hiper-cubo es el símbolo utilizado en matemáticas para representar la cuarta dimensión en un plano de dos dimensiones (es decir, en un dibujo sobre un papel). A partir del centro de éste hiper-cubo mediante sus ocho diagonales, éste hiper-cubo se relaciona con cuanto existe en el universo. El infinito en la cuarta dimensión se encuentra en el número infinito de relaciones posibles. Esto puede expresarse en términos de “escala fractal”, partiendo de lo infinitamente pequeño a lo infinitamente grande; perpendicular a las otras dimensiones, incluyendo los intervalos de dimensiones fractales existentes entre ellos. El significado de la escala fractal se explicará posteriormente en éste capítulo. Por el momento será suficiente entender que estamos hablando de escalas de magnitud, como por ejemplo, el tamaño de un átomo o el de una galaxia. El hiper-cubo es atravesado por cuatro diagonales que constituyen el punto central. En la conciencia, éste punto central representa la identidad de uno mismo. De acuerdo al teorema de Pitágoras, el número de diagonales (4) multiplicado por el cuadrado de 3 (9) es igual a nueve (4 * 3 = 9). Las cuatro diagonales del hiper-cubo son: 5-1, 6-2, 7-3, y 0-4.

Las Cuatro Diagonales

5-1:Materia

6-2:conciencia

7-3:Energía

0-4:Auto-organización

El hiper-cubo y sus diagonales se muestran en el diagrama siguiente:

METODOS/EXPERIMENTOS: Trata de pensar en el concepto de infinito. Ve desde lo infinítamente pequeño hasta lo infinitamente grande, y de allí a lo que nunca termina. Trata de visualizar cada una de las cinco dimensiones, comenzando con un punto infinitamente pequeño. Trata de visualizar figuras geométricas simples viéndolas con el ojo de tu mente. Después de que hayas dominado la visualización de figuras geométricas simples, como el círculo, el triángulo o el pentagrama, haz las girar a voluntad y obsérvalas desde distintas perspectivas. Ahora trata de imaginar el hiper-cubo y haz lo girar mentalmente para observarlo desde distintos ángulos. Trata de visualizar, imaginar y sentir la interrelación de toda materia con la ciencia como una realidad. Siente cómo tu cuerpo, al igual que todo tipo de materia en el universo, está en un constante intercambio de energía con los demás cuerpos del universo. Comienza con los objetos físicos que se encuentran inmediátamente alrededor tuyo y, a partir de allí, expándete a visiones más amplias que terminen por incluir todo el universo. Cuando estés listo, practica el ejercicio de meditación del hiper-cubo creado por Wilhelmine Keyserling, quien es maestra de Yoga y Filosofía en Vienna, Austria, y quien es autora de varios libros de temas relacionados, y quien por cierto, es la esposa de Arnold Keyserling.

Meditación del Hiper-Cubo

Siéntate cómodamente sobre el suelo en posición vertical. Toma tu tiempo y visualiza un hiper-cubo construido alrededor tuyo. Imagina las esquinas que contienen los puntos 3, 4, 5 y 6 en frente de ti y los puntos 1,2,7,y 0 detrás de ti. Estás sentado justo en medio y tu corazón se encuentra en el centro del cubo, en el punto donde las cuatro diagonales se interceptan. Pon toda tu atención en el centro, en la identidad interior, visualiza el punto cero –la conciencia Absoluta, que se encuentra detrás y que va hacia arriba--, ahora dirígete hacia ese punto mientras inhalas lentamente. Al exhalar, dibuja una diagonal desde el centro hasta el punto 4 –la voluntad, en frente de ti que se mueve hacia abajo a la izquierda--. Repite lo anterior varias veces, hasta nominarlo. Inhala ahora, moviéndote hacia el punto 0, exhala bajando hacia el centro del punto 4. Ahora regresa a tu centro expandiéndote simultáneamente hacia los dos puntos (0 y 4) inhalando mientras lo haces y exhalando al regresar al centro. Hazlo por segunda vez. Al hacerlo por tercera vez, pasa por el punto de la voluntad hacia la tierra y atraviesa el punto de la conciencia Absoluta. Repite el mismo progreso con 7-3, 6-2, 5-1. Finaliza manteniéndote en tu centro, en la Totalidad del Ser, donde se incluyen todos los numerales y la CONSCIENCIA CERO.

LAS DIENSIONES Y EL TIEMPO

0. La dimensión cero, el punto, no existe en el espacio sino, únicamente, en el tiempo. Es el momento en el presente que separa el pasado del futuro, el sujeto, el cero. Constituye la potencialidad, mientras que las cuatro dimensiones del espacio constituyen la actualidad.

Futuro. Los momentos crean el futuro al formar una trayectoria.

Presente. La trayectoria es como un disco o revolución.

Pasado. El disco gira media vuelta sobre su propio eje

El movimiento continua, formando una onda la cual constituye la forma fractal del continuum espacio-temporal

LAS DIMENSIONES Y LAS MATEMÁTICAS

0. La dimensión cero es el hogar de los números naturales. El punto del sujeto, el momento, el cero, la conciencia pura. Sus números son los números naturales:

Los nueve números naturales son la base de la calidad y del no-cambio. Todos los números pueden reducirse a los nueve números naturales: por ejemplo, mediante adición, 365=14=5. Tomar conciencia significa, por tanto, sumar o abstraer para reducir todo concepto al criterio fundamental del nueve. El la Cábala judía, esto representa los nueve nombres de la divinidad. Para los chinos, son las nueve formas del Tao.

1. La primera dimensión es el hogar de los números enteros. Los puntos,, los números naturales, no tienen extensión. Los números enteros se unen positivos y negativos hasta el 10 para crear una línea recta.

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10

Los números enteros se crean mediante la adición, la cual es básica para los sentidos, y mediante la substracción, que es básica para el espíritu, el camino del futuro incierto.

2. En la segunda dimensión, tenemos a los números racionales, que se basan en tres puntos que están visualizados en el plano mediante los ejes vertical y horizontal. El plano de los números era ya conocido para los pitagóricos y lo llamaban el CHI.

Los números racionales se producen mediante la división en el campo positivo –fracciones--, y mediante la multiplicación en el campo negativo –productos--. El cero es el centro del CHI, al cual Pitágoras como Platón conocían como la “herramienta de Demiurge”, el Creador. Los campos contienen solo las fracciones y los productos incluidos dentro de los diez números naturales. La división es la base del pensamiento, mientras que la multiplicación es la sinergia del alma.

3. La tercera dimensión contiene a los números reales. Los números reales comienzan desde cero y conectan a todas las fracciones de igual valor numérico, conllevando a las proporciones y a las funciones.

Las funciones son la base de la continuidad y la armonía. Conectan fracciones del mismo valor con el cero. Las funciones son también la base de la discontinuidad, ya que conectan los productos mediante los cuales los cuerpos se relacionan; por ejemplo, en el átomo, en donde las distancias de las capas de electrones siguen los números de la diagonal central 1-4-9-16, y el número posible de electrones en cada capa, es decir, la capacidad, sigue los números de la diagonal 2-8-18-32.

Los números racionales de la segunda dimensión y los números enteros y naturales de las dimensiones primera y cero, todos tienen un lugar preciso sobre la recta numérica. Los números reales de la tercera dimensión son, sin embargo, fundamentalmente distintos; aunque se localizan en algún lugar sobre la recta numérica, éstos no tienen una ubicación precisa sobre la misma.

Para los griegos, quienes hicieron un arte de las matemáticas en el mundo occidental, todos los números tenían un lugar preciso sobre la recta numérica. La existencia de los números reales, los cuales no tenían un lugar fijo, era conocida tan solo por un puñado de iniciados de la hermandad de los pitagóricos, quienes juraron mantener el secreto. Este concepto se puede entender muy fácilmente en nuestros días con la ayuda del teorema de Pitágoras que se ilustra a continuación:

El teorema de Pitágoras es un ejemplo claro de lo que son los números racionales. ¿Qué sucede, por ejemplo, si A y B son iguales a 1? En este caso C deberá ser la raíz cuadrada de 2, el cual es un número real irracional, es decir, es un número fraccional que continua indefinidamente hasta el infinito: 1.41421... Se trata de un número infinitamente continuo que no tiene por tanto un lugar preciso en la recta numérica. En el caso de un número real, lo único que podemos saber es su ubicación aproximada. Lo contrario que ocurre con un número racional infinito que presenta repetición en su parte decimal, como por ejemplo la fracción un tercio (0.3333....), la cual si tiene un lugar preciso sobre la recta numérica. Existen otros ejemplos de números reales, como π (Pi), que es la proporción entre el perímetro de una circunferencia con su diámetro; o la raíz cuadrada de un número primo; etc. Se trata en este caso de números reales que no terminan y cuya parte decimal nunca se repite.

4. La cuarta dimensión es el hogar de los números complejos y de la geometría fractal. A diferencia de las demás dimensiones, la cuarta dimensión es el mundo en el cual vivimos, el mundo mezo-cósmico. Se trata del continuum espacio-temporal del hombre y la naturaleza, en donde existe un constante cambio basado en la retroalimentación. Como lo descubrió recientemente Mandelbrot, la cuarta dimensión incluye no solo a las tres primeras dimensiones, sino también a los intervalos existentes entre ellas, las dimensiones fractales.

CONTRIBUCIÓN DE MANDELBROT A LA SABIDURÍA DE LAS DIMENSIONES

Los números complejos y la geometría fractal son los más importantes para la humanidad, aunque fueron los últimos en ser descubiertos por la razón y los más difíciles de comprender. El significado de las matemáticas de la cuarta dimensión no fue comprendido sino hasta que cayó la mentalidad newtoniana-euclidiana, que fue remplazada en los años 70´s y 80´s por la ciencia del Caos. La comprensión del Caos fue iniciada por Benoit Mandelbrot, un científico de la IBM y profesor de matemáticas de la Universidad de Yale, y un selecto equipo de científicos que colaboraron con él. Las computadoras ayudaron a Mandelbrot a darse cuenta del significado de la fórmula que ahora lleva su nombre. La serie de Mandelbrot es un cálculo dinámico basado en la iteración (el cálculo basado en la constante retroalimentación) de números complejos, con el cero como punto de inicio. El orden detrás de la producción caótica generada por la fórmula: z -> z¾ + c solo puede verse mediante un cálculo computacional de números complejos y graficada utilizando éstos números. De otra forma, la fórmula parece generar una serie de números totalmente aleatorios y sin significado. Es únicamente cuando se realizan millones de cálculos y se grafican en la pantalla de la computadora, que el orden geométrico escondido en la serie de Mandelbrot finalmente se revela. Este orden es de una escala infinita. Ver las gráficas de la serie de Mandelbrot y las posteriores a lo largo de éste capítulo. Estas gráficas proporcionan una imagen precisa de éste mundo adecuada para el hemisferio derecho del cerebro.

La fórmula de Mandelbrot es un resumen de sus descubrimientos en la geometría fractal de la naturaleza, en el mundo real de la cuarta dimensión. Esto contrasta con el mundo idealizado de las formas euclidianas de las dimensiones primera, segunda y tercera. Estas formas habían preocupado a la casi totalidad de los matemáticos anteriores a Mandelbrot. La geometría euclidiana estaba relacionada con una perfección abstracta que es prácticamente inexistente en la naturaleza. Esta era incapaz de describir la forma de una nube, de una montaña, de una playa o de un árbol. Como mencionó Mandelbrot en su libro “The Fractal Geometry of Nature” (La Geometría Fractal de la Naturaleza): “las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las playas no son círculos, y los ladridos no son agradables, ni la luz viaja en línea recta.”

Antes de Mandelbrot, los matemáticos creían que todos los patrones de la naturaleza eran demasiado complejos e irregulares, desfragmentados y amorfos para ser descritos matemáticamente. Mandelbrot concibió y desarrolló la geometría fractal de la naturaleza basada en la cuarta dimensión y en los números complejos. Esta geometría fractal puede describir las formas más caóticas y amorfas del mundo real. Como lo mencionó Mandelbrot: “La Geometría Fractal no es tan solo un capítulo más de las matemáticas, sino que es el capítulo que ayuda a todo hombre a ver el mismo mundo de forma distinta”.

Mandelbrot descubrió que la cuarta dimensión de las formas fractales incluye una serie infinita de dimensiones fraccionales, que se encuentran entre la dimensión cero y la primera dimensión, entre la primera y segunda dimensiones y entre la segunda y tercera dimensiones. Logró probar que la cuarta dimensión incluye los intervalos que se encuentran entre las tres anteriores dimensiones. A este intervalo de dimensiones lo llamó “dimensiones fractales”. Demostró tanto matemática como geográficamente, como la naturaleza utiliza las dimensiones fractales en lo que él llamó “el azar auto-contenido” para crear las formas complejas e irregulares del mundo real.

Gracias a Mandelbrot y a la perspectiva proporcionada por ésta nueva ciencia del Caos, es posible entender hoy varios de los anteriormente considerados “misterios de la naturaleza”. Por primera vez nos es posible entender como es que dos árboles que crecen uno junto al otro en el bosque, al mismo tiempo, de la misma raíz, con los mismos genes, serán sin duda singulares. Serán similares, pero no idénticos. De la misma forma que cada escarcha de nieve que cae de la misma nube, al mismo tiempo y bajo condiciones idénticas, sigue siendo única y distinta del resto de las demás. Esto es solo posible gracias a las infinitas islas --o intervalos-- que se encuentran en las diferentes dimensiones y en el juego interno del azar del Caos impredecible.

METODOS/EXPERIMENTOS: Para entender cómo es que la cuarta dimensión incluye los intervalos existentes entre las demás dimensiones, puede ser de ayuda visualizar las dimensiones fractales (llamadas también en matemáticas dimensiones Hausdorff). Una de las dimensiones fractales más famosas es la que se encuentra entre la dimensión cero y la primera dimensión, entre el punto y la línea. Este se crea al dividir una línea en tres porciones iguales y eliminando el “tercio medio” de ésta, el remanente de lo anterior serán dos líneas, de las cuales se eliminará a su vez el “tercio medio” de cada una de ellas; consecutivamente, eliminaremos el “tercio medio” de cada uno de los segmentos restantes; continuando hasta el infinito. El resultante después de toda esta eliminación de “tercios medios” es lo que Mandelbrot llamó “POLVO DE CANTOR”, el cual consiste de un número infinito de puntos sin longitud. A continuación se muestra un ejemplo del proceso mencionado (aunque no está a la proporción adecuada):

El polvo de Cantor restante no es precisamente una línea, pero es más que un punto. Se calcula que ésta dimensión tiene un valor numérico de .63 y fue descubierta por el matemático George Cantor a principios del siglo XX. Aunque inicialmente fue considerada como una “anomalía” y la mayor parte de los matemáticos la llamaron “una monstruosidad inservible”. De hecho, ésta dimensión fractal es una parte de la cuarta dimensión que está incluida en muchos fenómenos del mundo y de la naturaleza. Por ejemplo, Mandelbrot descubrió un problema muy serio en IBM al encontrar errores aleatorios muy parecidos entre sí que solían aparecer consecutivamente en líneas de transmisión de información de datos y que ocurrían en intervalos de tiempo acordes a la dimensión fractal representada por el Polvo de Cantor. Conociendo el orden matemático preciso escondido detrás de éstos errores aparentemente aleatorios fue posible que IBM resolviera fácilmente éste problema de transmisión de datos, con tan solo aplicar ciertas redundancias en la transmisión.

Otra dimensión fractal muy bien conocida es la que se encuentra entre la línea y el plano, la primera y segunda dimensiones. A ésta dimensión se le llama el Sello de Sierpiniski, en honor al matemático Waclaw Sierpiniski y tiene una dimensión fractal de 1.58. Para crear ésta dimensión se comienza con un triángulo equilátero, del cual se elimina el triángulo equilátero inverso contenido en su centro, el cual tiene la mitad de la longitud del triángulo inicial. El resultado de esto son tres triángulos de la mitad del tamaño normal. Este proceso se continua, aplicándolo a los triángulos restantes y continuando ad infinitum. La forma restante, después de este proceso tiene un número infinito de líneas pero es menos que un plano.

Existen muchas otras ilustraciones de las dimensiones fractales que se mencionan a lo largo de éste libro, y en especial en los libros de Mandelbrot. Una excelente referencia a éste respecto es el libro de Michael McGuire titulado “An Eye for Fractals” (Un Vistazo a los Fractales) que contiene gráficos por computadora y fotografías de la naturaleza. Las fotografías de McGuire muestran la presencia de los fractales en la naturaleza, en los árboles, las nubes, las montañas, los ríos, las piedras, etc. Otra referencia importante la constituye el libro de Manfred Schroeder titulado: “Fractals, Chaos, Power Laws” (Fractales, Caos y las Leyes del Poder), el cual incluye aplicaciones de las leyes fractales incluso en los sonidos.

Trata de visualizar las distintas formas de fractales que hemos mencionado anteriormente para obtener una sensación del infinito que existe en las primeras tres dimensiones y que también forma parte de la cuarta. Otra herramienta importante lo es el programa de computación y el manual incluido del libro de Gleick titulado: “Chaos the Software” (El Software del Caos), quer también es de mucha ayuda y que incluye una sección que permite crear imitaciones fractales de la naturaleza como una nube, una montaña, o incluso todo un planeta. Medita sobre la pregunta que llevó a Benoit Mandelbrot a realizar sus descubrimientos: “¿Qué tan larga es la línea costera de Inglaterra?”. Entre más de cerca midas la línea costera, más vas a medir y más larga se va a hacer.

En el cuerpo humano también existen formas fractales. El ejemplo más conocido son las arterias y las venas en los sistemas vasculares mamarios. Los bronquios de los pulmones humanos también son auto-similares en una serie de 15 bifutaciones sucesivas. Esta arrea dentro de la investigación biológica aún está en sus inicios. McGuire hace cita de ciertos descubrimientos recientes en investigaciones con el cerebro que sugieren la existencia de una estructura fractal basada en hexágonos, la cual puede bien ser la forma en que se organizan los campos receptores de la corteza visual.

CAOS

La geometría fractal y los descubrimientos de la ciencia del Caos se basan en los números complejos –los números de la cuarta dimensión, mismos que son capaces de modelar la dinámica de los sistemas caóticos--. A diferencia del resto de los números, los números complejos no existen sobre la recta numérica en lo absoluto, ni siquiera en aproximación, como en el caso de los números reales. Los números complejos solo existen en un plano de x-y que involucra a los llamados números imaginarios. Tienen únicamente una referencia indirecta con la recta numérica. Para poder entender los números complejos es necesario entender primero a los números imaginarios, con los que se relacionan, como en x^3/4 + 1 = 0. La única solución para esta ecuación es que x sea igual a la raíz cuadrada de –1; x es en esta fórmula, un número imaginario, ya que, considerando la convencionalidad que gobierna al resto de los números, al multiplicar un número negativo por otro número negativo se produce invariablemente un número positivo. La raíz cuadrada de números negativos, por lo tanto, resulta imposible. Pero sin embargo, existe (por ejemplo, x3/4 + 1 = 0) y los matemáticos suelen referirse a dichos números como “números imaginarios”.

Con los números imaginarios, dos números negativos multiplicados entre sí producen un número negativo, y no uno positivo. ¿Suena ilógico, verdad? Sin los números imaginarios, no sería posible la descripción matemática de la dinámica compleja y la turbulencia del mundo real de espacio-tiempo. Los números imaginarios se combinan con los números reales para formar los números complejos. Los números complejos son la base de la mayor parte de las matemáticas elevadas. Estos permiten a los matemáticos visualizar muchas conexiones esenciales y relaciones en las matemáticas que de otra forma no serían posibles. Los números complejos permiten el entendimiento algebraico de la unidad escondida del mundo ideal de los números. Proporcionan también una descripción geométrica de la belleza fractal del mundo real, del mundo del zig-zag de la naturaleza, y de otros sistemas altamente complicados. Con los otros tipos de números, los no-complejos, esto no sería posible. Para mayor información sobre los números complejos, existe una sección en el Apéndice titulada “Las Matemáticas de la Fórmula de Mandelbrot y los Trabajos sobre Números y Vectores en el Plano Complejo”.

Los números complejos son una combinación de números imaginarios que no tienen lugar físico sobre la recta numérica, y de cualquier otro tipo de número que si tenga un lugar definido sobre la recta numérica –como los números reales, racionales y naturales--. En las matemáticas los números complejos se representan mediante una letra z, la cual define al número complejo como

z= a + bi

a= número real

bi= número imaginario

Tanto las partes real como la imaginaria del número complejo pueden ser positivas o negativas, y cualquiera de los dos puede ser entero o fraccional. Los números complejos pueden fácilmente sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse. Para ejemplos de cómo funciona la fórmula de Mandelbrot mostrando las matemáticas que envuelven los números complejos, ver la Sección de Matemáticas del Apéndice, que proporcionará una visión más completa al lector interesado. Los símbolos alternativos para x y y suelen también utilizarse para describir los números complejos. El uso de x y y proporciona una referencia al plano cartesiano, lo cual ayuda al mejor entendimiento de los números complejos. El eje x es la representación de la recta numérica, que se representa en forma horizontal. Mientras que el eje y representa la línea de los números imaginarios, de raíces cuadradas negativas. El eje y se muestra verticalmente para crear un plano de números complejos.

como z= x + Hill

x= número real

yi= número imaginario

Todo número no-complejo tiene un lugar sobre la unidimensional recta numérica, mientras que todo número complejo tiene un lugar sobre el plano más amplio de dos dimensiones de los números que se denomina como el plano complejo. De manera que para localizar un número complejo hay que referirse al eje horizontal para localizar su parte numérica real y al eje vertical para ubicar su parte numérica imaginaria. Esto contrasta con todos los números que pueden localizarse en un punto que se encuentra sobre una línea recta unidimensional.

La línea de los números reales se combina con la recta vertical de los números imaginarios para formar el plano complejo, lo cual se explica más ampliamente en el apéndice, en la sección titulada “Las Matemáticas de Mandelbrot y los Trabajos Sobre Números y Vectores en el Plano Complejo”.

Como anteriormente demostramos, z=2 puede encontrarse en cualquier parte del círculo de los números complejos 2. Se muestra también el punto 2-3i.

Cuando los números complejos presentan iteración, es decir, que son sujetos a una constante retroalimentación, éstos producen una escala fractal como la que se muestra en la serie de Mandelbrot:

z - > z^¾ + C

c = cualquier número complejo

esta fórmula es equivalente a:

z -> (x + yi) + (x + yi)

-> significa iteración, el proceso de retroalimentación, mediante el cual, el resultado final del último cálculo se convierte en la constante del siguiente: z¾ + c se convierte en el valor z de la siguiente repetición. De igual forma que la vida es una ecuación dinámica que existe en el tiempo y no una ecuación estática.

Cuando la iteración de un proceso de raíz cuadrada se aplica a números no-complejos, el resultado siempre es conocido y predecible. Por ejemplo, se puede calcular repetitivamente la raíz cuadrada de cualquier número no-complejo mayor que 1, el cual se aproxima rápidamente hacia el infinito: 1.1 * 1.1 = 1.21 * 1.21 = 1.4641 * 1.4641 = 2.14358 y después de diez iteraciones el número creado es 2.43... *

10 a la 42a potencia, lo cual también se escribe 2,430,000,000,000,000,000,000,000,000,000, 000,000,000,000. Una cifra tan grande que podría hacer parecer ridícula la suma de cualquier deuda externa nacional. Las matemáticas dicen que éste tipo de número se aproxima al infinito.

Lo mismo ocurre con cualquier número no-complejo menor que 1 pero en sentido inverso, se aproxima rápidamente a lo infinitamente pequeño. Por ejemplo, con .9: .9*.9=.81; .81*.81=.6561; .6561*.6561=.43046 y después de solo diez iteraciones se convierte en 1.39...*10 elevado a la 47ª potencia negativa, lo cual también se puede escribir como .000000000000000000000000000000 0000000000000000139..., un número realmente pequeño.

En el caso de los números reales racionales o naturales, la iteración de raíces cuadradas suele tender normalmente a infinito, a menos que el número inicial sea 1. No importa cuantas veces se obtenga la raíz cuadrada de 1, ésta siempre será igual a 1. Sin embargo, basta tan solo un poco más o menos que 1 para que esta cantidad tienda a lo infinitamente grande o hacia lo infinitamente pequeño. La misma conducta ocurre con los números complejos: los números que están fuera del circulo z=1 en plano complejo, se proyectarán hacia lo infinitamente grande, mientras que los números complejos que se encuentren dentro del círculo z=1 tenderán hacia el cero.

La magia aparece cuando se añade la constante C (un número complejo) al proceso de raíces cuadradas, y se comienza con z en el punto cero: z -> z¾ + c. En este caso, es posible obtener iteraciones estables, es decir, una serie que no tienda ni a lo infinitamente pequeño ni a lo infinitamente grande. El mundo de los números complejos estables se encuentra dentro y fuera del círculo z=1, específicamente en el plano complejo definido entre 2.4 y .8 sobre la línea de los números reales, el eje de x, y entre 1.2 y –1.2 sobre la línea de los números imaginarios, el eje y. Estos números complejos permanecen de hecho, dentro de la realidad mezo-cósmica, el mundo de los humanos, incluso en el caso en que la iteración z -> z¾ + c continúe indefinidamente. Estos números están contenidos en la parte negra del fractal de Mandelbrot.

LA SERIE DE MANDELBROT EN EL PLANO COMPLEJO

En la fórmula de Mandelbrot z -> z¾ + c, siempre es posible iniciar el proceso iterativo con z=0 y c= cualquier número complejo, con lo que se produce una serie interminable de números aleatorios o caóticos. Este es el caso del clima, la bolsa de valores y de otros sistemas caóticos, cambios insignificantes en las cantidades al igual que en la retroalimentación, pueden producir efectos caóticos inesperados. La conducta de los números complejos es por tanto un reflejo de la conducta de la cuarta dimensión, del mundo real en el que el Caos es obvio y opaca a los sistemas más ordenados. Con algunos valores de C, el proceso iterativo comienza a aumentar exponencialmente o a caer hacia lo infinitamente pequeño. Estos números se encuentran totalmente fuera de la serie de Mandelbrot o de la llamada “dinámica mezo-cósmica”. Con otro tipo de valores de C, el proceso iterativo es estable para un cierto número de repeticiones durante el proceso y únicamente después de superado éste número de repeticiones es que éstos números llegan a tender a infinito. Estos son los números del atractor de extraño inestable que se encuentra justamente en la parte exterior de la serie de Mandelbrot. Estos números se muestran en las iteraciones estables. Los valores de C, para los cuales se presenta la mencionada estabilidad, se repiten en forma de una serie infinita y nunca tienden hacia el infinito. Es por esta razón que en la serie mezo-cósmica de Mandelbrot, éstos números se representan gráficamente como la parte negra de la gráfica.

En la Sección del Apéndice titulada ““Las Matemáticas de la Fórmula de Mandelbrot y los Trabajos sobre Números y Vectores en el Plano Complejo” se incluyen ilustraciones sobre la forma de calcular los valores de z -> z¾ + c utilizando valores simples de c. En esta parte se pueden apreciar iteraciones de números complejos, como 1-1i, aproximándose a infinito desde el inicio de la serie, como sucede con todos los números reales. Existe otro tipo de números complejos que son siempre estables, como –1+0i; mientras que otros números complejos permanecen estables durante muchas iteraciones para luego impredeciblemente comenzar a crecer o decrecer de manera exponencial (por ejemplo: .37+4i, permanece estable durante 12 iteraciones). Se trata de números que se encuentran a la orilla de la inclusión de los números estables que se muestran en la parte negra de la serie de Mandelbrot. El Caos entra en la iteración debido a que dentro del número potencialmente infinito de números complejos incluidos en la ventana que van del –2.4 al .8 sobre el eje de los números reales, y del 1.2 al –1.2 sobre el eje de las y, existe una sub-serie infinita en la orilla que está sujeta a la atracción impredecible del atractor de extraño. Lo único que sabemos a cerca de éstos números es que si la z producida por cualquier iteración sale de un círculo de radio =2 en el plano complejo, los subsecuentes valores de z tenderán al infinito, por lo que ya no será necesario continuar el proceso. Esto está mayormente explicado en el Apéndice de la Sección de Matemáticas.

Utilizando una computadora, se pueden evadir las limitaciones normales del tiempo humano. Se pueden alimentar una gran cantidad de números complejos y hacerlos iterar para ver su comportamiento. Con la fórmula de Mandelbrot, se utilizan inicialmente valores de z=0 y después se utilizan distintos valores de c. Cuando algún valor de c es atraído hacia el infinito –produce un valor de z superior a 2—entonces se interrumpe la iteración, se regresa nuevamente a los valores de z=0 y se utilizan otro tipo de valores para c, en un proceso que se repite millones de veces, de manera que solo una computadora lo puede realizar.

Mandelbrot fue el primero en descubrir que utilizando z=0 como la base para tal iteración y realizando un gran número de iteraciones con diferentes valores de c en una computadora, en base a aciertos y errores, era posible definir una serie de números complejos gráficamente estables y se podría representar su ubicación en el plano complejo. Esto es lo que en realidad representa la figura fractal de la serie de Mandelbrot. Junto con este descubrimiento se encontró la sorprendente belleza de las formas fractales y de su naturaleza recursiva cuando se representan gráficamente. Las partes negras del fractal de Mandelbrot son las iteraciones estables del plano complejo. Cuando un número complejo es atraído hacia el infinito (mayor o menor), éste no se muestra en la gráfica, o se muestra como un color o tono de gris, según el número de iteraciones que realiza antes de iniciar su espiral exponencial hacia el infinito.

Cada punto del plano de números complejos se encuentra ya sea fuera o dentro de la serie infinita de Mandelbrot. Si se encuentra dentro se trata de una serie finita, mientras que si está fuera, será una serie infinita. Los fractales de Mandelbrot son una representación bidimensional del infinito existente entre los número enteros cero y uno, lo potencial y lo actual. Este es el aspecto mezo-cósmico del mundo y la base de todas las operaciones computacionales. Es el límite que define la zona existente entre lo finito y lo infinito en la cual podemos traer nuestro potencial a la actualidad. Es imposible determinarlo con precisión pues está sujeto al Atractor Extraño y nunca se sabe cuando se va a estar dentro o fuera de él, ni en que forma. Entre más cerca se observe mayor es la magnificación al elegir una variable c más cercana que la anteriormente elegida, y mayormente se repetirán las identidades fractales con patrones reconocibles –aunque raramente idénticos—para definir un límite infinitamente irregular.

El orden escondido y la gran belleza de la cuarta dimensión de los números complejos solo se revela al graficar éstos utilizando un proceso iterativo y su representación en dos dimensiones. La naturaleza infinitamente recursiva del fractal de Mandelbrot es su mayor cualidad, como sucede también en otras series fractales. El hecho de que las formas básicas sean infinitamente recursivas significa que éstas se repiten a si mismas, aunque con leves variaciones, sin importar que tan de cerca se observe la forma. Siempre existirá la similaridad o la autoafinidad de una escala hacia otra. Al observar más profundamente hacia el microcosmos de la figura se encontrarán las mismas formas repetidas, ligeramente diferentes y únicas. En cada distinta escala la forma fractal se visualiza en consonancia de similaridad con la forma original.

La forma original del fractal de Mandelbrot son las dos manchas negras, a las que Mandelbrot llamó “átomos”. La mancha negra grande conforma el corazón, y se le llama “cardioide”, mientras que a la pequeña mancha de la izquierda se le llama “disco”. Tanto el cardioide como el disco tienen una serie infinita de pequeñas manchas negras en forma de disco que las rodean, y cada una de éstas tiene su serie propia de pequeños discos negros similares add infinitum.

Al lado izquierdo del átomo grande, extendiéndose en línea hacia la izquierda de la esfera grande se encuentra otro pequeño cardioide, el cual al magnificarse presenta a su vez otra serie de cardioides más pequeños que rodean el átomo grande, y de cada uno de éstos pequeños átomos se desprende otra serie infinita de pequeños cardioides. Los átomos negros que representan los números complejos dentro de la serie estable son infinitamente recursivos o auto-similares. De igual forma son también las formas de color adjuntas a los átomos negros. Estas formas geométricas se repiten con pequeñas variaciones en distintos tamaños que se aproximan a lo infinitamente pequeño cuando se magnifican los detalles de la orilla de la serie.

El estudio de las imágenes nos da la comprensión de todo esto. Actualmente es posible encontrar imágenes de la serie de Mandelbrot y de otras series fractales en muchos libros y videos. Sugerimos que las busques y te inmersas en éste hermoso mundo geométrico. Y para proporcionarte una alternativa visual inmediata estamos incluyendo nuestras imágenes más favoritas de la serie de Mandelbrot. Se trata tan solo de algunas cuantas de las billones de imágenes de la serie de Mandelbrot que de alguna forma ilustran la recursividad fractal. Los colores de estas ilustraciones nos ayudan a apreciar la belleza y magnificencia de la serie de Mandelbrot. Las secuencias mostradas a continuación muestran una amplificación de los infinitos detalles de la serie de Mandelbrot.

La serie de Mandelbrot es holística y continua: Todos los átomos del fractal de Mandelbrot están interconectados entre sí. Se conectan por líneas o filamentos extremadamente delgados que requieren de millones de escalas de amplificación para volverse visibles. La serie de Mandelbrot contiene un número infinito de estos átomos negros de cardioide interconectados por filamentos.

Otra serie de números complejos que utiliza la misma fórmula iterativa z -> z¾ + c para producir una serie de números complejos estáticos y fractales y que lo hace sin tener que inicializarse en cero. En otras palabras, la iteración no se reinicia con z=0 después de que el vector complejo muestra una tendencia a infinito, sino que la fórmula mantiene el mismo valor de c y utiliza un nuevo valor para re-inicializar z. A esta otra serie de fractales que no reinician en z=0 se les llama Serie de Julia, en honor al matemático francés Gaston Julia, quien fue el primero en estudiar la iteración con números complejos en los años 1920´s.

Aunque la serie de Mandelbrot representa todos los valores de c, ya sea que éstos tiendan o no hacia el infinito, la serie de Julia se basa en un valor fijo para c y en el valor inicial de z que es inferior a 2 y que cambia en todo momento. Existe un número infinito de posibles series de Julia, y a diferencia de lo que sucede con los átomos de Mandelbrot, que son todos inicializados en cero y que están conectados entre sí en el plano complejo, las series de Julia se desconectan entre sí en el plano complejo. Incluso, ciertas series de Julia se encuentran desconectadas internamente, separándose de la misma forma que lo hace el polvo de Cantor. Precisamente por ésta razón es que a este tipo específico de series de Julia se les conoce también como Series de Cantor. A continuación mostramos un ejemplo de serie de Julia interconectada internamente.

También a este respecto existen muchos libros sobre fractales que muestran muchos ejemplos de las series de Julia y de Cantor. La siguiente es una de las series de Julia más conocidas llamada “el dragón”. Esta se acompaña de un acercamiento al patrón fractal básico. Estas imágenes que se muestran en la amplificación son infinitamente recursivas. Entre más profundo sea el acercamiento visual se encontrarán mayor número de rizos. Este mismo patrón se repite en escalas de magnitud infinita. Es posible apreciar ésta auto-similaridad recursiva en todos los diseños de patrones fractales.

Sin contar con la ventaja de las gráficas por computadora, Julia y otros matemáticos de los años 1920´s ya sabían que la iteración de los números complejos producía fractales con características recursivas. No pudieron sin embargo, comprender el significado completo del proceso ni se les ocurrió tampoco estabilizar la dinámica inicializando a cero. Mandelbrot fue el primero en darse cuenta de que esta era la geometría de la naturaleza, la realidad de la cuarta dimensión y no una simple aberración sin significado de las matemáticas. Este descubrimiento se desarrolló basado en el criterio de ocho, en la CONSCIENCIA CERO, aquella que une todos los números complejos finitos al inicializar z en cero y mantener c flotante.

Mandelbrot descubrió que éste fractal holístico gobierna todas las series de Julia cuyo valor c se encuentra dentro de la serie fractal de Mandelbrot, dentro de los átomos negros. Mientras que las series de Julia que se encuentran fuera de los límites del fractal de Mandelbrot, en el plano de los números complejos, están infinitamente fragmentadas en muchas partes. Entre más lejos estén de la orilla negra, más rápidamente se separarán en pedazos las series de Julia y se convertirán en polvo. Las series de Julia con valores de c cercanos al interior y exterior del límite del átomo negro, la orilla de la serie de Mandelbrot, son las más complejas y las más hermosas de todas. La ilustración siguiente muestra la serie de Julia justo en las proximidades del límite de la serie de Mandelbrot, y como se muestra, esta serie de Julia incluye una línea recta así como un círculo.

METODOS/EXPERIMENTOS: En la actualidad existen muchos programas de computación diseñados para crear distintos tipos de fractales, incluyendo las series de Mandelbrot. Este es uno de los temas más populares en el Internet. Por ejemplo, en las páginas de Internet de The School of Wisdom se puede encontrar mayor información e imágenes de fractales, incluyendo amplificaciones animadas de las series de Mandelbrot. Existen muchos programas generadores de fractales que pueden obtenerse en Internet ya sea gratuitamente o a muy bajo costo. Solo es necesario realizar una búsqueda en un motor de búsqueda con la palabra “fractales” o “fractals”. Probablemente encontrarás un programa muy popular llamado “fractint”, un programa desarrollado por un equipo de programadores. Existe un libro con excelentes imágenes de fractales titulado “The Patterns of Chaos” (Los Patrones del Caos), escrito por John Briggs y que hace referencia a muchos otros programas distintos. El catálogo “Media Magic” (con sede en Nicasio, California, tel. 800-882-8284) contiene una selección completa de libros, software, calendarios, videos, etc. Referentes al Caos.

Experimentando con fractales y la amplificación en escalas es posible obtener una experiencia de primera mano sobre los fractales, la autosimilaridad, la recursividad y el infinito. La gran belleza y complejidad infinita de las series de Mandelbrot y Julia son intrigantes para todos los que las experimentan, aunque no conozcan su significado filosófico. Es importante reconocer éstos fractales en el mundo de la naturaleza. Esto da un mayor entendimiento y un sentido intuitivo de lo que la recursividad fractal significa. Esta es una clave para comprender el orden escondido detrás del Caos en nuestra vida diaria.

Piensa en los eventos de tu vida que han parecido eventos fortuitos y que más tarde tomaron significado, o en situaciones en las que el orden pareció haber surgido de en medio del Caos, o bien lo contrario, situaciones en que el Caos escondido surgió en medio de lo que parecía un orden perfecto. Lee algunos libros sobre las teorías del Caos y estudia las imágenes a color de los fractales que se incluyen en la mayor parte de éstos libros. Unos de los mejores libros para comenzar son “The Turbulent Mirror” (El Espejo Turbulente) de John Briggs y F. David Peat, y “Chaos: Making a New Science” (El Caos: Una Nueva Ciencia) por James Glick.

Cuando hayas terminado, puedes leer los libros más complicados, pero importantes, escritos por Benoit D. Mandelbrot: su libro escrito para el “lector general” titulado “The Fractal Geometry of Nature” (La Geometría Fractal de la Naturaleza) y otro libro aún más técnico titulado: “Fractals, Form, Change and Dimension” (Fractales, Formas, Azar y Dimensión). Mandelbrot contribuyó también con ensayos para los libros: “An Eye for Fractals” (Un vistazo a los Fractales) de Michael McGuire, y “The Beauty of Fractals” (La Belleza de los Fractales), por H.-O. Peitgen and P.H. Richter, el cual incluye las mejores impresiones a color disponibles sobre los fractales de Mandelbrot y de Julia.

Existen cintas de video sobre fractales que también son de mucha ayuda. Por ejemplo: “Fractals, An Animated Discussion” (Fractales: Una Presentación Animada), el cual incluye gráficas por computadora y entrevistas con Mandelbrot y Edward Lorenz. El video titulado “The Fractal Universe” (El Universo Fractal) contiene excelentes animaciones de varios científicos y artistas del video.

LOS CUATRO ATRACTORES

Los recientes descubrimientos en la ciencia interdisciplinaria del Caos y su descubrimiento de los cuatro atractores (anteriormente llamadas fuerzas), las cuales dan sentido al Caos, nos ayudan a entender el criterio básico de la Sabiduría y le dan sentido a nuestro mundo. El orden escondido y la similaridad en las escalas que se revelan gráficamente en la aparentemente fortuita colección de números de las series de Mandelbrot y de Julia se basa en uno de éstos cuatro atractores, el atractor extraño. Los otros tres atractores, que también hacen aparecer el orden escondido detrás del Caos, pertenecen a las primeras tres dimensiones y se denominan: atractor de punto, atractor de circuito (o de ciclo), atractor toro. Viviendo nosotros en la cuarta dimensión, estamos mejor cuando evitamos las influencias de éstos tres atractores y nos dejamos influenciar únicamente por el atractor extraño. Solo de ésta forma podemos vivir de forma autónoma el momento, sintonizados con lo que los chinos llamaron el Tao, el Camino, el flujo de fuerzas en la cuarta dimensión.

Los cuatro atractores actúan a todos los niveles de realidad para formar el Cosmos que emerge del Caos. Comprendiendo éstos atractores y la forma en que funcionan es posible encontrar más fácilmente el sentido a los acontecimientos del mundo real. El mundo no está estrictamente ordenado de la forma en que lo creíamos en un principio, sino que está formado primordialmente de desorden, de Caos, pero contiene fuerzas cósmicas o atractores que crean patrones de orden a lo largo del tiempo.

Los cuatro atractores corresponden a los cuatro principios de orden de realidad: energía, conciencia, materia, y auto-organización. Estos cuatro elementos fundamentales pueden entenderse como resúmenes del criterio de ocho:

Energía, como sentimiento/espíritu;

conciencia, como pensamiento/alma;

Materia, como sensaciones/cuerpo;

Auto-Organización, como voluntad/consciencia absoluta.

Este conocimiento se resume en la gráfica siguiente:

Para comprender las fuerzas de los atractores necesitamos de un entendimiento espiritual del espacio y del tiempo. En lo referente al espacio, deberemos entender que el espacio es la fuerza original, aquella que en Sánscrito es llamada Brahman, en chino Wu Chi, en Peruano y japonés, Ki. Esta fuerza original crea el mundo a través de un punto. En éste sentido, la única forma de obtener una visión espiritual es a partir de la experiencia del CHI. En el resto de éste libro, y en particular en el Capítulo Cuatro, se presenta información sobre el CHI, al que se le ha llamado algunas veces en la psicología, el cuerpo quinestético. Existen algunos métodos y ejercicios de psicología y de artes marciales que también nos ayudan a obtener la experiencia del CHI. Utiliza éstos experimentos para obtener mayor experiencia y entendimiento del espacio como la fuerza que origina todo. Esto será de gran ayuda para una mejor comprensión de los atractores.

El entendimiento espiritual del tiempo ayudará a entender que el tiempo es rítmico. Se trata de las conexiones de orden que realizan los campos de los cuatro atractores:

Atractor de Punto	energía	Sentimientos/Espíritu
Atractor de Ciclo	conciencia	Pensamiento/Alma
Atractor Toro	materia	Sensasiones/Cuerpo
Atractor extraño	auto - organización	Voluntad/Consciencia Absoluta

En las computadoras, la iteración es creada de forma automática mediante la energía eléctrica y la programación. En el caso del ser humano no es tan fácil. Nosotros tenemos que hacer un esfuerzo para inicializarnos en la CONCIENCIA CERO. Para iniciar una nueva iteración. La conciencia Pura es el espacio sagrado (llamado “HUACAN” por la tribu nativa americana Lakota; “mana” por los polinesios). La conexión con la CONSCIENCIA CERO se realiza tan pronto como se localiza el centro de uno mismo, lo que los japoneses llamaron el “HARA”. Cosmológicamente, el “hara” corresponde al centro de la tierra. Las iniciaciones tradicionales despertaban la fuerza de la gravedad. La fuerza de la gravedad, según la ley de Newton, es el resultado de la atracción física entre las masas. Entre más se acerque uno al centro, la fuerza será más débil. Estando justo en el centro, ésta será completamente nula. Pero si la luz llega desde fuera del yo, entonces el centro –el Yo—irradiará. Esto se ejemplifica con el símbolo chino del Tai-Chi, que se muestra a continuación:

El “observador” ve al Yo, pero el Yo del tiempo no lo hace, porque éste está oculto para el Ego detrás del sueño. Solo en el Yoga, la meditación y las prácticas con PrimaSounds, esto puede suceder con lo cual el yo-inmortal puede energetizarse (el yo-energético, el yo-astral).

De manera que la dificultad que tienen los científicos pare entender el Caos no es una dificultad mental sino existencial. Su conciencia (el atractor de ciclo) se opone al atractor de extraño, el cual representa la responsabilidad individual total (la libertad total). No pueden inicializarse en la CONSCIENCIA CERO para experimentar el verdadero significado del espacio-tiempo. Y como no pueden encontrar su propia CONSCIENCIA PURA / DIOS, solo pueden ver el Caos en el exterior. No pueden hacer el salto del conocimiento a la Sabiduría, al interior de la zona negra del fractal de Mandelbrot. Sin esta experiencia, no cuentan con la visión ni la confianza ni la sabiduría necesarias para vivir en la zona de la orilla de lo infinito, en la que se realizan los grandes descubrimientos. Solamente pueden ver las series de Julia y de Cantor, pero se pierden el patrón que solo se puede apreciar logrando la CONSCIENCIA ABSOLUTA, el fractal de Mandelbrot.

ATRACTOR DE PUNTO

El atractor de punto corresponde a la energía, a la función del sentimiento y a la realidad del espíritu. Con ésta fuerza cósmica, una persona es atraída a una actividad particular o bien alejada de otra, como sucede con los polos positivo y negativo de la energía electromagnética. Existe también un punto justo en medio de la atracción y la repulsión en el cual las energías se encuentran balanceadas, justo antes de que una fuerza se vuelva más fuerte que la otra.

Con la influencia de éste atractor de punto suele presentarse una fijación en el deseo, con lo que todo lo demás se hace a un lado hasta que dicho deseo es satisfecho o destruído. Con la fuerza de atracción positiva todos los caminos parecen llevar al mismo destino, mientras que con la repulsión negativa, todo parece venir de un mismo punto. Un magneto positivo que se convierte en negativo; un péndulo que se alenta con la fricción y la resistencia del aire; o más gráficamente, un joven perro macho en las proximidades de una perra en celo; son todos ejemplos de la acción del atractor de punto. Se trata de un atractor de tipo blanco/negro, bueno/malo, excepto en ciertas instancias, cuando se encuentra en el punto medio de balance.

ATRACTOR DE CICLO

El atractor de ciclo o de circuito corresponde a la conciencia, a la acción del pensamiento o la actividad del alma. Bajo la influencia de éste atractor, una persona es atraída primero a una cosa y después hacia otra, como un magneto de círculo que primero atrae, luego rechaza, para después atraer nuevamente. Este representa un ciclo de ida y vuelta entre dos o más actividades. Existe cierta regularidad y simplicidad en los eventos cíclicos. Un ejemplo de esto es el deseo de dormir al final del día, el cual , cuando es satisfecho de forma natural, conlleva al deseo de reiniciar actividades a la mañana siguiente, seguido a su vez de un deseo de volver a dormir, etc. En la Naturaleza esto se puede observar de varias formas, por ejemplo, los sistemas de cazador-presa, en los cuales las poblaciones respectivas de cazadores-presas presentan un ciclo de crecimiento y decrecimiento en relación una con la otra.

El atractor de ciclo es más complejo que el atractor de punto. Al igual que el pensamiento, tiende a ver los dos lados y a incluir un tercero. Por ejemplo, la síntesis que surge de la tesis y la antitesis.

ATRACTOR TORO

El atractor toro corresponde a la materia tridimensional, a la función de los sentidos y a a la realidad del cuerpo. Se trata de un ciclo mucho más complejo que se mueve hacia delante, lo que lo hace ser distinto al repetirse. Existe un alto grado de irregularidad y complejidad en el patrón del atractor toro, en especial si se le compara con los atractores de punto y circuito, pero a diferencia del atractor extraño, es posible encontrar un patrón y hacer predicciones. Matemáticamente, el toro es de tres dimensiones y tiene la forma de una gran dona. Esta forma surge a partir de un círculo de espiral en muchos planos, cuyas espirales pueden o no regresar a su punto de partida después de completar una o más revoluciones.

Un ejemplo de esto sería la serie compleja de eventos que ocurren a una persona a varios niveles en el curso de un año y que se suelen repetir cíclicamente año tras año, como el deseo de nadar cada verano, de escalar cada otoño, de comer y beber con exceso en ocasiones de festividad, etc. En el plano de la Naturaleza se muestra por ejemplo en la iteración compleja de un número de especies interdependientes: la población de una especie de cazadores está relacionada con los cazadores de sus presas; por ejemplo, el tamaño de la población de insectos afecta al tamaño de la población de sapos, lo cual afecta también el tamaño de otros tipos de cazadores, indefinida y consecutivamente. Desafortunadamente, la mayoría de los seres humanos viven sujetos a las influencias complejas pero predecibles del atractor toro, o lo que es aún más grave, a las más simples influencias de los atractores de ciclo o de punto.

ATRACTOR EXTRAÑO

Es necesario escapar de la influencia determinista de los atractores de punto, de circuito y de toro para ubicarnos en